术语：
大多数3D工作中，我们参照的依据是欧几里得几何学中的三维空间(X,Y,Z)。但在某些情况下，参照投影几何更适用，除了X,Y,Z分量外，增加一个W分量，这个四维空间叫做“投影空间”，在四维空间中的坐标叫做“齐次坐标”。
为了达到3D软件的目的，“投影的”和“齐次的”可以理解为“4D”。
不是四元数：
虽然四元数跟齐次坐标很像，都是4D矢量，通常用(X,Y,Z,W)来表示，但是，四元数和齐次坐标是不同的概念，使用的领域也不同。
这篇文章跟“四元数”没有一毛钱关系。
类比2D：
了解3D之前，我们先看看2D的投影是怎么回事儿。
想象投影仪在一个屏幕上投影一张2D图片，很容易就可以得到投影图片的X,Y分量。
现在，靠投影仪和屏幕之间，你就可以发现W分量了。
W分量是投影仪倒屏幕的距离。
那么W分量的作用是什么呢？想象一下，如果我们移动投影仪的位置，来增加或减少W分量的值，那么投影出的2D图片会发生什么？如果将投影仪靠近屏幕，2D图片缩小，将投影仪远离屏幕，2D图片放大。没错，这就是W分量的作用。
W分量的值，影响了投影出的2D图片的大小。
应用到3D：
到目前为止，还没有一个3D投影仪，很难想象3D中的投影几何，但是3D下的W分量与2D的作用相同。当W增大，坐标被拉伸，W缩小，坐标被压缩。W对3D坐标做缩放变换。
W=1时：
通常，给3D编程初学者的建议是，无论什么时候将3D坐标转换为4D坐标时，让W=1。原因是，当缩放坐标的W为1时，坐标不会增大或缩小，保持原有的大小。所以，当W=1，不会影响到X,Y,Z分量的值。
因此，当谈论到3D计算机图形学时，当坐标中W=1时被称作“正确”。如果渲染使用W>1的坐标，每一个3D物体看起来都会变大，反之，W<1的坐标中，3D物体会变小；如果渲染时试图让 W=0，即做透视除法时除数为0，那么你的程序会崩溃；如果W<0，每一个物体都会上下水平翻转。
在数学中没有所谓的“不正确”的齐次坐标，使用齐次坐标时让W=1仅仅是用于计算机图形学中的投影转换。
数学原理：
现在，让我们来看一些例子，了解数学原理。
在距屏幕3米远的位置放一个投影仪，投影出一个点（15,21）在2D图像中，相应的投影坐标中的向量为（X,Y,W）=(15,21,3)。
现在，想象推动投影仪向屏幕靠近，直到距离1米，越靠近屏幕投影，投影出的图像越小。投影仪靠近了3倍，因此图像缩小了3倍。如果我们将原向量的X,Y,Z分量都除以3，我们得到一个新向量W=1：
投影出的点在坐标中的新位置(5,7)：
这就是怎样将一个“不正确”齐次坐标转换到一个“正确”坐标的方法：所有分量除以W，这个过程对2D和3D同样适用。
通过给向量乘以W的倒数，来实现向量的所有分量除以W，下面是一个4D的例子：
在计算机图形学中使用齐次坐标：
就像开始提到的，针对3D计算机图形学中的有些情况齐次坐标很有用，下面我们来看看这些情况：
3D坐标中的转换矩阵：
旋转和缩放的转换矩阵只需要3列，但是为了处理平移，至少需要4列矩阵，这就是为什么矩阵变换通常用4x4的矩阵。然而，4列矩阵不能与3维向量相乘，只能与4维向量相乘，这就是为什么我们使用齐次的4维向量取代3维向量。
通过齐次坐标处理矩阵变化，第4维W分量通常不用改变。从3D转换到4D，只需将W分量设置为1，并且经过变换矩阵处理后，W分量的值仍为1，这意味着我们忽略W分量即可转换回3D坐标。这个对目前为止大多数矩阵变化都适用，如平移、旋转、缩放。需要注意的例外是投影矩阵会影响W分量。
透视变换
在3D世界中，物体离相机越远看起来越小，这个现象叫做透视。在镜头中，如果猫离相机足够近，远处的大山会比猫看上去小。
在3D计算机图形学中，透视是通过变换矩阵改变向量的W分量来实现的。在变换到观察空间后（对向量应用了观察矩阵）但还没进行投影变换（还没有对向量应用投影矩阵），每个向量的Z分量表示了距离相机的距离。因此，Z分量越大，矢量应该越小。W分量影响这个缩放，所以投影矩阵用Z分量的值改变W分量的值。
在3D计算机图形学中，透视是通过投影矩阵变换，改变每一个向量中W分量的值来实现透视的。
下面来看一个透视例子，通过投影矩阵变换到齐次坐标。
注意投影矩阵是怎样用Z分量改变W分量的。
经过投影矩阵变换后，每一个向量还需要经过“透视除法”。
透视除法只是将齐次坐标中的W分量转换为1的专用名词。
继续上面的例子，透视除法这步如下：
完成透视除法后，W分量就没用了，我们就得到了一个完全符合3D透视投影规则的3D坐标。
设置平行光：
齐次坐标的一个特点是可以有无限远的点（或无限长的向量），在3D坐标中这个是不允许的。当W=0时，这点表示无限远的一个点。如果你尝试将一个W=0的齐次坐标转换为一个普通的W=1的齐次坐标，这会导致4次除以零的操作：
这意味着，不能将W=0的齐次坐标转换为3D坐标。
那这有什么用呢？用处说来就来了，平行光可以认为是一个无限远处的点光源。当一个点光源在无限远的位置，光线就会变成平行的，并且所有光线都在同一方向，这就是平行光的基本定义，想想太阳吧。所以在传统的3D图形中，平行光可以通过改变点光源位置向量中的W分量来表示，当W=1时，是一个点光源，当W=0时，是一个平行光。
在实现光照代码时，这更多的是一种传统的约定，但不是一种有用的方法，因为平行光和点光源的行为不同，通常分开实现。
总结：
齐次坐标有一个额外的维度叫W分量，用来缩放X,Y,Z三个分量的值。平移和透视投影的矩阵变换只能在齐次坐标中适用，所以在3D计算机图形学中它们非常的常见。当W=1时，X,Y,Z分量被称为“正确的”。任何齐次坐标，只要W不为0，都可以通过将每一个分量除以W来转换到W=1的向量。当W=0时，这个坐标表示无穷远的一个点（或者表示无限长的一个向量），通常用于表示平行光的方向。
原文：https://www.tomdalling.com/blog/modern-opengl/explaining-homogenous-coordinates-and-projective-geometry/